Нижегородские математики решили "полувековую" задачу
Математики всего мира 57 лет бились над задачей, которую нижегородцы Иван Ремизов и Олег Галкин решили при помощи знаний психологии, сообщает MK.RU.
Если коротко: впервые удалось определить, насколько быстро в теореме американского математика Пола Чернова приближенные значения сойдутся к точному результату в зависимости от выбранных параметров. Как объяснить сказанное наглядно? Что решение такой задачи дает на практике?
Простейшие примеры: как быстро остывает чашка кофе, распространяется тепло в двигателе или как ведет себя квантовая частица? Математическую модель этих и многих других физических процессов можно построить, зная решение этой задачи. Не зря ее решение искали более полувека.
Рассказывая о своем достижении, математик Иван Ремизов сначала изложил предысторию вопроса. "Ученым с начала 1930-х было известно, что для вычисления точных значений, к примеру, в начавшей тогда развиваться квантовой физике, нужны вычисления такого математического объекта, как полугруппа операторов, - говорит Иван Ремизов. - Полугруппа операторов - это сложные конструкции, описывающие эволюцию многочастичных систем. Если мы для системы знаем полугруппу, то можем для каждого начального состояния системы предсказать все будущие ее состояния. Образно можно сказать, что полугруппа системы - это ее судьба: у каждой системы ровно одна полугруппа и она указывает, что случится с системой от текущего момента и до конца ее существования. Также справедливо будет считать, что полугруппа операторов - это обобщение школьного понятия "экспонента" на случай бесконечной размерности".
Если исследователь имеет дело со сложными системами, которые описываются так называемыми неограниченными операторами, стандартные методы вычисления полугрупп перестают работать. В 1968 году американский математик Пол Чернов предложил решение этой проблемы. В основе метода - последовательные приближения, когда с каждым шагом результат становится точнее. Но насколько быстро такое пошаговое приближение даст точный результат, оставалось неизвестным.
Нижегородские математики нашли ответ, о чем и сделали 5 июля доклад на Международной конференции "Теория функций и ее приложения". Результаты совместной работы двух математиков были опубликованы в журнале Israel Journal of Mathematics.
"Мы с Олегом Галкиным нашли условия, которые здесь важны, - а именно, что нужно у функции Чернова, условно, попросить, чтобы она показывала хорошую скорость приближения. Таким образом мы создали теорему, которую можно считать "усилением" теоремы Чернова", - рассказал Иван Ремизов.
Это теоретическая работа, применение которой в будущем ей можно будет найти везде, где требуются полугруппы операторов. Если вернуться к образу остывающего кофе, то метод позволяет предсказать будущее всех профилей температур: какая будет температура кофе через минуту, через час, через день. При этом чашка может быть нагрета неравномерно, может присутствовать внешний подогрев или охлаждение. Если полугруппа известна, то по любому начальному распределению температур можно узнать будущие распределения путем расчетов, а не путем ожидания и наблюдения, объясняет нижегородский математик.
Кстати, решение помогла найти вторая специальность Ивана Ремизова - практикующий психолог-психотерапевт. Он понял, что очень умные и квалифицированные люди искали слишком сложные пути, потому и не могли достичь результата так долго. Они просто не могли допустить, что решение можно найти гораздо проще.
"Поэтому я начал решать задачу простым путем и продвинулся. А потом попросил Олега Галкина помочь, и мы вместе доказали теорему. Ключевой момент доказательства - простая алгебраическая формула для выражения X^n-Y^n, которую я называю разложением Галкина, подробнее можно посмотреть в нашей научной статье".