К чему приведет решение Ремизова "вечной" задачи математики

Ученый из Нижнего Новгорода Иван Ремизов нашел формулу для уравнений, считавшихся нерешаемыми. Он совершил прорыв в теории дифференциальных уравнений и радикально поменял картину мира в одной из областей математики, важной для фундаментальной физики и экономики.

Ученый из Нижегородского кампуса НИУ ВШЭ и Института проблем передачи информации РАН Иван Ремизов предложил универсальный метод решения широкого класса дифференциальных уравнений второго порядка, которые почти два столетия считались не имеющими общей аналитической формулы.

Работа, опубликованная в ведущем математическом журнале, уже вызвала резонанс в научном сообществе.

Речь идет об уравнениях вида ay′′ + by′ + cy = g, где коэффициенты - не числа, а функции. Подобные уравнения описывают множество физических, инженерных и экономических процессов - от колебаний мостов до динамики финансовых рынков. Еще в 1834 году французский математик Жозеф Лиувилль доказал, что их решение нельзя выразить через стандартные операции (сложение, умножение, элементарные функции и интегралы). С тех пор в учебниках закрепилось утверждение: "общей формулы не существует".

Ремизов не оспорил теорему Лиувилля, но расширил "разрешенный набор" инструментов. Он добавил к классическим операциям предельный переход - работу с бесконечными последовательностями приближений. Это позволило записать компактную формулу, в которую можно подставить коэффициенты и получить решение.

"Представьте, что вы едете на машине. Если дорога идеально ровная, а скорость постоянная, рассчитать время в пути легко. Это задача с постоянными коэффициентами. А теперь представьте, что покрытие дороги постоянно меняется, ветер дует с разной силой, угол наклона горы под колесами все время разный. В таких условиях ваша скорость и время зависят от множества меняющихся факторов", - пояснили суть исследования в ВШЭ.

"Можно сравнить это с собиранием пазла из миллионов фрагментов, - поясняет ученый. - Раньше мы не видели целой картины. Теперь мы нашли алгоритм, который позволяет системно собирать ее, шаг за шагом, приближаясь к точному ответу".

В основе метода лежит теория аппроксимаций Чернова и преобразование Лапласа. Подход не только дает практический инструмент для расчетов, но и сближает классический анализ с методами современной теоретической физики, в частности, с техниками, используемыми в квантовой механике.

Любовь к сложным "головоломкам" и логическим задачам у Ремизова с детства. Он родился в 1987 году в Нижнем Новгороде. Настоящая страсть к математике проснулась в нем в 14 лет, когда он попал в лицейский кружок под руководством известного педагога Ларисы Семеновны Ковалевой. "Ваня всегда выделялся нестандартным мышлением. Он мог часами размышлять над задачей, которая другим казалась тупиковой. Уже тогда было видно, что его интересуют не просто ответы, а структура проблемы", - приводит слова его педагога издание "Научный вестник.

После окончания лицея с золотой медалью Ремизов поступил на факультет вычислительной математики и кибернетики ННГУ им. Лобачевского, а затем в аспирантуру ИППИ РАН. Кандидатскую диссертацию защитил в 2015 году, посвятив ее методам аппроксимации в дифференциальных уравнениях.

Проблемой, решение которой он нашел теперь, Иван заинтересовался в аспирантуре. "Меня всегда смущала формулировка "нерешаемо в общем виде", - говорит он. - Это звучало как вызов. Я чувствовал, что нужно лишь посмотреть под другим углом".

Его нынешнее открытие, над которым ученые бились 200 лет, "радикально меняет картину мира" в одной из старейших областей математики. Оно позволяет впервые задавать так называемые специальные функции (например, функции Матье и Хилла, критически важные для расчета орбит спутников или движения частиц в коллайдере) явными формулами. Раньше их можно было описать только как "решение такого-то уравнения". Теперь для них, как для привычной y = x², можно записать формулу, где слева - искомая величина, а справа - конкретные действия для ее вычисления.

Любопытно и еще одно следствие: работа перекидывает мост к современной физике. Решение Ремизова записано в форме, поразительно похожей на знаменитые интегралы нобелевского лауреата Ричарда Фейнмана, которые используются в квантовой механике для описания движения частиц. То, что раньше было инструментом субатомного мира, теперь применимо и к классическим задачам.

Концептуальный прорыв нижегородского математика не просто решает старую проблему - он открывает новые возможности для фундаментальной физики, экономики и инженерии, где такие уравнения являются основой математических моделей. Наука снова доказала: даже в самых устойчивых и проверенных временем областях всегда есть место для революционной идеи.